Appunti di Analisi Matematica 1

Programma Analisi Matematica 1.
Alfabeto greco. Numeri naturali, interi, razionali; definizione assiomatica dei numeri reali. Estremosuperiore ed estremo inferiore. Valore assoluto, radice n-sima. Insiemi limitati, limitati inferiormente,
limitati superiormente. Intervalli di R. Principio degli intervalli incapsulati. I naturali come minimo
insieme induttivo, illimitatezza dei naturali, densita` dei numeri della forma kx+h quando x e`
razionale. Principio di induzione, formula di Newton per il binomio, disuguaglianza delle medie.
Numeri complessi, radici n-sime.
Successioni e serie: limiti, forme indeterminate, monotonia, serie geometrica, serie armonica; serie
esponenziale; il numero e. Sviluppi decimali e binari. Non numerabilita` dei reali. Criteri di
convergenza per serie a termini positivi. Convergenza assoluta, criterio di Leibniz. formula di somma
per parti di Abel. Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass, successioni di Cauchy;
completezza dei reali. Punti limite, massimo e minimo limite. Serie di potenze: raggio di convergenza,
legame della somma con i coefficienti. Calcolo della somma della serie esponenziale; esponenziale
complessa, formula di Eulero, sviluppi di sin x e cos x. Riordinamento di serie, raggruppamento dei
termini di una serie, prodotto di Cauchy di serie.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni monotone, pari, dispari, periodiche; funzione inversa;
visualizzazione grafica di alcune trasformazioni. Topologia di R: intorni, punti d'accumulazione, punti
isolati. Continuita`; definizione di limite; algebra e ordinamento per i limiti. Asintoti di una funzione.
Proprieta' delle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema degli zeri e dei valori intermedi,
continuita' dell'inversa. Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica; derivata di funzioni
composte; derivata della funzione inversa; funzioni trigonometriche inverse; derivabilita` delle serie di
potenze, principio di identita`, sviluppo del logaritmo e dell'arcotangente, serie
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